問題詳情:
如圖,直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B、C,與x軸另一交點爲A,頂點爲D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸上找一點E,使EC+ED的值最小,求EC+ED的最小值;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得∠APB=∠OCB?若存在,求出P點座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
解:(1)直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交於B、C兩點,則點B、C的座標分別爲(3,0)、(0,3),
將點B、C的座標代入二次函數表達式得:,解得:,
故函數的表達式爲:y=﹣x2+2x+3,
令y=0,則x=﹣1或3,故點A(﹣1,0);
(2)如圖1,作點C關於x軸的對稱點C′,連接CD′交x軸於點E,則此時EC+ED爲最小,
函數頂點座標爲(1,4),點C′(0,﹣3),
將CD的座標代入一次函數表達式並解得:
直線CD的表達式爲:y=7x﹣3,
當y=0時,x=,
故點E(,x);
(3)①當點P在x軸上方時,如下圖2,
∵OB=OC=3,則∠OCB=45°=∠APB,
過點B作BH⊥AH,設PH=AH=m,
則PB=PA=m,
由勾股定理得:AB2=AH2+BH2,
16=m2+(m﹣m)2,解得:m=(負值已捨去),
則PB=m=1+,
則yP==;
②當點P在x軸下方時,
則yP=﹣();
故點P的座標爲(1,)或(1,).
知識點:各地中考
題型:綜合題