已知函數.（1）求函數的單調區間和最小值；（2）若函數在上的最小值爲，求的值；（3）若,且對任意恆成立，求的最...

問題詳情：

已知函數.

（1）求函數的單調區間和最小值；

（2）若函數在上的最小值爲，求的值；

（3）若,且對任意恆成立，求的最大值.

【回答】

    解：（1）的單調增區間爲，單調減區間爲，

（2），，

Ⅰ．當時，，在上單調遞增，，所以，捨去.

Ⅱ．當時，在上單調遞減，在上單調遞增，

①若，在上單調遞增，，所以，捨去，

②若，在上單調遞減，在上單調遞增，所以，解得.

③若，在上單調遞減，，所以，捨去，

綜上所述，.

（3）法一：由題意得：對任意恆成立，即對任意恆成立.

令，則，令，則，

所以函數在上單調遞增，

因爲方程在上存在唯一的實根，且，當時，，即，

當時，，即.

所以函數在上遞減，在上單調遞增.

所以

所以，又因爲，故整數的最大值爲3.

法二：直接構造函數

      令

   ① 當時，在上恆成立，在上恆成立，

      ；

   ② 當時，令

     當變化時，、變化情況如下表：

   即

即      

同法一 

  的最大值是3

知識點：導數及其應用

題型：解答題