問題詳情：
如果存在常數k使得無窮數列
滿足
恆成立，則稱為
數列.
（1）若數列
是
數列，
，
，求
；
（2）若等差數列
是
數列，求數列
的通項公式；
（3）是否存在
數列
，使得
，
，
，…是等比數列？若存在，請求出所有滿足條件的數列
；若不存在，請説明理由.
【回答】
（1）
；（2）
或
或
；（3）存在；滿足條件的
數列
有無窮多個，其通項公式為
.
【分析】
（1）根據
數列的定義，得
，
，可求
；
（2）根據
數列的定義，得
，分
和
兩種情況討論. 當
，
.當
時，由
是等差數列，對
賦值，求出
和公差
，即求
；
（3）假設存在滿足條件的
數列
，設等比數列
，
，
，…的公比為q.則有
，
，可得q＝1，故當
時，
.當
時，不妨設
，
且i為奇數，
由
，可得
.
即滿足條件的
數列
有無窮多個，其通項公式為
.
【詳解】
（1）由數列
是
數列，得
，
，可得
；
（2）由
是
數列知
恆成立，取m＝1得
恆成立，
當
，
時滿足題意，此時
，
當
時，由
可得
，取m＝n＝2得
，
設公差為d，則
解得
或者
，
綜上，
或
或
，經檢驗均合題意.
（3）假設存在滿足條件的
數列
，
不妨設該等比數列
，
，
，…的公比為q，
則有
，
可得
①
，
可得
②
綜上①②可得q＝1，
故
，代入
得
，
則當
時，
，
又
，
當
時，不妨設
，
且i為奇數，
由
，
而
，
，
，
.
綜上，滿足條件的
數列
有無窮多個，其通項公式為
.
【點睛】
本題考查創新型題目，考查等差數列和等比數列的通項公式，考查學生的邏輯推理能力和計算能力，屬於難題.
知識點：數列
題型：解答題
