問題詳情：
有限數列
…，
同時滿足下列兩個條件：
①對於任意的
；
②對於任意的
三個數中至少有一個數是數列
中的項。
（Ⅰ）若
，且
，求a的值；
（Ⅱ）*：2，3，5不可能都是數列
中的項；
（Ⅲ）求n的最大值。
【回答】
解：（Ⅰ）由①，得
，
由②，當
時，
，12中至少有一個是數列1，2，a，6中的項，但
，故
，解得a
。
經檢驗，當
時，符合題意。
（Ⅱ）假設2，3，5是數列
中的項，由②可知：6，10，15中至少有一個是數列
中的項，則有限數列
的最後一項
，且
。
由①，
，
對於數
，由②可知：
；對於數
，由②可知：
。
所以
，這與①矛盾，
所以2，3，5不可能是數列
中的項。
（Ⅲ）n的最大值為9，*如下：
（1）令
，則
符合①、②。
（2）設
…
符合①、②，則：
（i）
中至多有三項，其絕對值大於1，
假設
中至少有四項，其絕對值大於1，不妨設
是
中絕對值最大的四項，其中
。則對
有
，故
均不是數列
中的項，即
是數列
中的項。
同理：
也是數列
中的項。
但
，
所以
，
所以
，這與①矛盾。
（ii）
中至多有三項，其絕對值大於0且小於1，
假設
中至少有四項，其絕對值大於0且小於1，類似（i）得出矛盾。
（iii）
中至多有兩項絕對值等於1。
（iv）
中至多有一項等於0。
綜合（i），（ii），（iii），（iv）可知
中至多有9項。
由（1），（2）可得，n的最大值為9。
知識點：數列
題型：解答題
