問題詳情：
記
分別為函數
的導函數．若存在
，滿足
且
，則稱
為函數
與
的一個“
點”．
（1）*：函數
與
不存在“
點”；
（2）若函數
與
存在“
點”，求實數
的值；
（3）已知函數
，
．對任意
，判斷是否存在
，使函數
與
在區間
內存在“
點”，並説明理由．
【回答】
（1）*見解析；（2）
；（3）存在
，使函數
與
在區間
內存在“
點”．
【解析】
分析：（1）根據題中“S點”的定義列兩個方程，根據方程組無解*得結論；（2）同（1）根據“S點”的定義列兩個方程，解方程組可得a的值；（3）通過構造函數以及結合 “S點”的定義列兩個方程，再判斷方程組是否有解即可*得結論.
詳解：解：（1）函數f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程組無解，
因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．
（2）函數
，
，
則
．
設x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得
，即
，（*）
得
，即
，則
．
當
時，
滿足方程組（*），即
為f（x）與g（x）的“S”點．
因此，a的值為
．
（3）對任意a>0，設
．
因為
，且h（x）的圖象是不間斷的，
所以存在
∈（0，1），使得
，令
，則b>0．
函數
，
則
．
由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得
，即
（**）
此時，
滿足方程組（**），即
是函數f（x）與g（x）在區間（0，1）內的一個“S點”．
因此，對任意a>0，存在b>0，使函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）內存在“S點”．
點睛：涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖象交點個數問題，一般先通過導數研究函數的單調*、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數的*質，如單調*、極值，然後通過數形結合的思想找到解題的思路.
知識點：導數及其應用
題型：解答題
