問題詳情：
如圖，已知拋物線y＝﹣
+bx+4與x軸相交於A、B兩點，與y軸相交於點C，若已知A點的座標為A（﹣2，0）．
（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；
（2）求點C的座標，連接AC、BC並求線段BC所在直線的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點座標；若不存在，請説明理由．
【回答】
解：（1）∵拋物線y＝﹣
x2+bx+4的圖象經過點A（﹣2，0），
∴﹣
×（﹣2）2+b×（﹣2）+4＝0，
解得：b＝
，
∴拋物線解析式為 y＝﹣
x2+
x+4，
又∵y＝﹣
x2+
x+4＝﹣
（x﹣3）2+
，
∴對稱軸方程為：x＝3．
（2）在y＝﹣
x2+
x+4中，令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，即﹣
x2+
x+4＝0，整理得x2﹣6x﹣16＝0，
解得：x＝8或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（8，0）．
設直線BC的解析式為y＝kx+b，
把B（8，0），C（0，4）的座標分別代入解析式，得：
，
解得：
，
∴直線BC的解析式為：y＝﹣
x+4．
（3）存在，
理由：∵拋物線的對稱軸方程為：x＝3，
可設點Q（3，t），∵A（﹣2，0），C（0，4），
∴AC＝2
，AQ＝
，CQ＝
．
①當AQ＝CQ時，
有
＝
，
25+t2＝t2﹣8t+16+9，
解得t＝0，
∴Q1（3，0）；
②當AC＝AQ時，
有2
＝
，
∴t2＝﹣5，此方程無實數根，
∴此時△ACQ不能構成等腰三角形；
③當AC＝CQ時，
有2
＝
，
整理得：t2﹣8t+5＝0，
解得：t＝4±
，
∴點Q座標為：Q2（3，4+
），Q3（3，4﹣
）．
綜上所述，存在點Q，使△ACQ為等腰三角形，點Q的座標為：Q1（3，0），Q2（3，4+
），Q3（3，4﹣
）．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：綜合題
