問題詳情:
(1)討論函數的單調*;
(2)對於任意正實數,不等式恆成立,求實數的取值範圍;
(3)是否存在最小的正常數,使得:當時,對於任意正實數,不等式恆成立?給出你的結論,並説明結論的合理*.
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【回答】
⑵由於,所以.構造函數,則令,得.當時,;當時,.所以函數在點處取得最小值,即.
因此所求的的取值範圍是. (7分)
⑶結論:這樣的最小正常數存在. 解釋如下:
.
構造函數,則問題就是要求恆成立. (9分)
對於求導得 .
令,則,顯然是減函數.
又,所以函數在上是增函數,在上是減函數,而,
,.
所以函數在區間和上各有一個零點,令為和,並且有: 在區間和上,即;在區間上,即. 從而可知函數在區間和上單調遞減,在區間上單調遞增. ,當時,;當時,. 還有是函數的極大值,也是最大值.
題目要找的,理由是:
當時,對於任意非零正數,,而在上單調遞減,所以一定恆成立,即題目所要求的不等式恆成立,説明;
當時,取,顯然且,題目所要求的不等式不恆成立,説明不能比小.
綜合可知,題目所要尋求的最小正常數就是,即存在最小正常數,當時,對於任意正實數,不等式恆成立. (12分)
( 注意:對於和的存在*也可以如下處理:
令,即. 作出基本函數和 的圖像,藉助於它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數根和,且,(實際上),可知函數在區間和上單調遞減,在區間上單調遞增.,當時,;當時,. 還有是函數的極大值,也是最大值. )
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知識點:基本初等函數I
題型:解答題