问题详情:
如图,已知椭圆M: +=1(a>b>0)的离心率为,且经过过点P(2,1).
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点,直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且k1k2=﹣.
①求x12+x22的值;
②设点B关于x轴的对称点为C(点C,A不重合),试求直线AC的斜率.
【回答】
(1)由题意可得e==, +=1,a2﹣b2=c2,
解得a=2,b=,
可得椭圆标准方程为+=1;(3分)
(2)①由题意可得k1k2==﹣,
即为x12x22=16y12y22,
又点A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆M上异于顶点的任意两点,
可得4y12=8﹣x12,4y22=8﹣x22,
即有x12x22=(8﹣x12)(8﹣x22),
化简可得x12+x22=8;(6分)
②由题意可得C(x2,﹣y2),
由4y12=6﹣x12,4y22=6﹣x22,
可得y12+y22==,(8分)
由x12+x22=(x1﹣x2)2+2x1x2=6,
可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2,
由y12+y22=(y1+y2)2﹣2y1y2=,
可得(y1+y2)2=+2y1y2=(3+4y1y2),(9分)
由=﹣,即x1x2=﹣4y1y2,
可得(x1﹣x2)2=6﹣2x1x2=6+8y1y2,(10分)
则直线AC的斜率为kAC==±=±.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题