問題詳情：
已知函式
討論函式
的單調*；
設
，對任意
的恆成立，求整數
的最大值；
求*：當
時，
【回答】
（1）∵函式 f（x）＝
（a∈R ）．
∴
，x＞0，
當a＝0時，f′（x）
0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．
當a＞0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調遞增．
當a＜0時，令f′（x）＞0，解得：0＜x
，
令f′（x）＜0，解得：x
，
故f（x）在（0，
）遞增，在（
，+∞）遞減．
（2）當
時，則f（1）＝2a+3＞0，不滿足f（x）≤0恆成立．
若a<0，由（1）可知，函式f（x）在（0，
）遞增，在（
，+∞）遞減．
∴
，又f（x）≤0恆成立，
∴f（x）max≤0，即
0，令g(a)=
,則g(a)單調遞增，g(-1)=1，
g(-2)=
<0，∴a
時，g(a) <0恆成立，此時f（x）≤0恆成立，
∴整數
的最大值-2．
（3）由（2）可知，當a＝-2時，f（x）≤0恆成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，
恆成立，①
又
ex﹣x2+2x﹣1+（
）
∴只需*ex﹣x2+2x﹣1
，
記g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），則g′（x）＝ex﹣2x+2，
記h（x）＝ex﹣2x+2，則h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．
當x∈（0，ln2）時，h′（x）＜0；當x∈（ln2，+∞）時，h′（x）＞0．
∴函式h（x）在（0，ln2）上單調遞減；在（ln2，+∞）上單調遞增．
∴
4﹣2ln2＞0．
∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函式g（x）在（0，+∞）上單調遞增．
∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．
結合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（
）＞0，即
＞0成立．
知識點：基本初等函式I
題型：解答題
