問題詳情：
在平面直角座標系xOy中，直線y=﹣
x+5與x軸、y軸分別交於點A、B(如圖)．拋物線y=ax2+bx(a≠0)經過點A．
（1）求線段AB的長；
（2）如果拋物線y=ax2+bx經過線段AB上的另一點C，且BC=
，求這條拋物線的表示式；
（3）如果拋物線y=ax2+bx的頂點D位於△AOB內，求a的取值範圍．
【回答】
（1）5
；（2）y=﹣
x2+
x；（3）﹣
＜a＜0．
【分析】
（1）先求出A，B座標，即可得出結論； （2）設點C（m，-
m+5），則BC=
|m，進而求出點C（2，4），最後將點A，C代入拋物線解析式中，即可得出結論； （3）將點A座標代入拋物線解析式中得出b=-10a，代入拋物線解析式中得出頂點D座標為（5，-25a），即可得出結論．
【詳解】
（1）針對於直線y=﹣
x+5，
令x=0，y=5，
∴B(0，5)，
令y=0，則﹣
x+5=0，
∴x=10，
∴A(10，0)，
∴AB=
=5
；
（2）設點C(m，﹣
m+5)．
∵B(0，5)，
∴BC=
=
|m|．
∵BC=
，
∴
|m|=
，
∴m=±2．
∵點C線上段AB上，
∴m=2，
∴C(2，4)，
將點A(10，0)，C(2，4)代入拋物線y=ax2+bx(a≠0)中，得
，
∴
，
∴拋物線y=﹣
x2+
x；
（3）∵點A(10，0)在拋物線y=ax2+bx中，得100a+10b=0，
∴b=﹣10a，
∴拋物線的解析式為y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，
∴拋物線的頂點D座標為(5，﹣25a)，
將x=5代入y=﹣
x+5中，得y=﹣
×5+5=
，
∵頂點D位於△AOB內，
∴0＜﹣25a＜
，
∴﹣
＜a＜0．
【點睛】
此題是二次函式綜合題，主要考查了待定係數法，兩點間的距離公式，拋物線的頂點座標的求法，求出點D的座標是解本題的關鍵．
知識點：一次函式
題型：解答題
