問題詳情：
如圖，已知拋物線經過點 A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．
（1）求拋物線的解析式．
點 M 是線段 BC 上的點（不與 B，C 重合），過 M 作 MN∥y 軸交拋物線於 N，若點 M 的橫座標為
m，請用 m 的代數式表示 MN 的長．
（3）在的條件下，連線 NB、NC，是否存在 m，使△BNC 的面積最大？若存在，求 m 的值；若不 存在，說明理由．
【回答】
【考點】二次函式綜合題．
【專題】壓軸題；數形結合．
【分析】（1）已知了拋物線上的三個點的座標，直接利用待定係數法即可求出拋物線的解析式． 先利用待定係數法求出直線 BC 的解析式，已知點 M 的橫座標，代入直線 BC、拋物線的解析式中， 可得到 M、N 點的座標，N、M 縱座標的差的絕對值即為 MN 的長．
（3）設 MN 交 x 軸於 D，那麼△BNC 的面積可表示為：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）
= MN•OB，MN 的表示式在中已求得，OB 的長易知，由此列出關於 S△BNC、m 的函式關係式， 根據函式的*質即可判斷出△BNC 是否具有最大值．
【解答】解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則：
a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；
∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3． 設直線 BC 的解析式為：y=kx+b，則有：
；
故直線 BC 的解析式：y=﹣x+3．
已知點 M 的橫座標為 m，MN∥y，則 M（m，﹣m+3）、N（m，﹣m2+2m+3）；
∴故 MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m（0＜m＜3）．
（3）如圖；
∵S△BNC=S△MNC+S△MNB= MN（OD+DB）= MN•OB，
∴S△BNC=（﹣m2+3m）•3=﹣（m﹣）2+（0＜m＜3）；
∴當 m=時，△BNC 的面積最大，最大值為．
【點評】該二次函式題較為簡單，考查的知識點有：函式解析式的確定、函式圖象交點座標的求法、 二次函式*質的應用以及圖形面積的解法．（3）的解法較多，也可通過圖形的面積差等方法來列函 數關係式，可根據自己的習慣來選擇熟練的解法．
知識點：二次函式與一元二次方程
題型：解答題
