問題詳情：
如圖1，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AD=AE，連線BE，CD， 點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點．
（1）觀察猜想：圖1中，△PMN的形狀是 ；
（2）探究*：把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，△PMN的形狀是否
發生改變？並說明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD=1，AB=3，請直接寫出
△PMN的周長的最大值．
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【回答】
解：（1）如圖1，∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD=AE，∴BD=CE，∵點M、N、P分別是BE、CD、BC的中點．
∴PM∥CE，PM=
CE，PN∥BD，PN=
BD，
∴PM=PN，∠BPM=∠BCA=60°，∠CPN=∠CBA=60°，
∴∠MPN=60°，∴△PMN為等邊三角形；
故*為等邊三角形；
（2）△PMN的形狀不發生改變，
仍然為等邊三角形．理由如下：
連線CE、BD，如圖2，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=60°，
∴把△ABD繞點A逆時針旋轉60°可得到△ACE，∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
與（1）一樣可得PM∥CE，PM=
CE，PN∥BD，PN=
BD，∴PM=PN，
∠BPM=∠BCE，∠CPN=∠CBD，∴∠BPM+∠CPN=∠CBD+∠BCE=∠ABC
-∠ABD+∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°，
∴∠MPN=60°，∴△PMN為等邊三角形．
（3）∵PN=
BD，∴當BD的值最大時，PN的值最大，
∵AB-AD≤BD≤AB+AD（若且唯若點B、A、D共線時取等號）
∴BD的最大值為1+3=4，∴PN的最大值為2，∴△PMN周長的最大值為6．
知識點：圖形的旋轉
題型：解答題
