问题详情:
如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地,其中
.物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖,其中都在边上(不与重合,在之间),且.
(Ⅰ)若在距离点处,求点之间的距离;
(Ⅱ)为节省投入资金,三角形人工湖的面积要尽可能小.试确定的位置,使的面积最小,并求出最小面积.
【回答】
解:(Ⅰ)在中,因为,所以,
在中,由余弦定理得:,
所以,
所以,
在中,
,
在中,由,得;… ………6分
(Ⅱ)解法1:设 ,
在中,由,得,
在中,由,得,
所以
==
=
=.
当,即时,的最小值为.
所以应设计,可使△OMN的面积最小,最小面积是km2…12分
解法2:设AM=x,0<x<3.在△OAM中,由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cosA=x2-3x+9,
所以OM=,所以cos∠AOM==,
在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)= sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=,
由=,得ON=·=,
所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···=,0<x<3,
令6-x=t,则x=6-t,3<t<6,则:
S△OMN==(t-9+)≥·(2-9)=.当且仅当t=,即t=3,x=6-3时等号成立,S△OMN的最小值为,
所以M的位置为距离A点6-3 km处,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.
知识点:解三角形
题型:解答题