问题详情：
若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个等腰三角形底角的2倍，我们把这条对角线叫做这个四边形的黄金线，这个四边形叫做黄金四边形．
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=DC，对角线AC，BD都是黄金线，且AB＜AC，CD＜BD，求四边形ABCD各个内角的度数；
（2）如图2，点B是弧AC的中点，请在⊙O上找出所有的点D，使四边形ABCD的对角线AC是黄金线（要求：保留作图痕迹）；
（3）在黄金四边形ABCD中，AB=BC=CD，∠BAC=30°，求∠BAD的度数．
【回答】
【解答】解：（1）∵在四边形ABCD中，对角线AC是黄金线，
∴△ABC是等腰三角形，
∵AB＜AC，
∴AB=BC或AC=BC，
①当AB=BC时，
∵AB=AD=DC，
∴AB=BC=AD=DC，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
此种情况不符合黄金四边形定义，
②AC=BC，
同理，BD=BC，
∴AC=BD=BC，易*得△ABD≌△DAC，△CAB≌△BDC，
∴∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA，
且∠DCA＜∠DCB，
∴∠DAC＜∠CAB
又由黄金四边形定义知：∠CAB=2∠DAC，
设∠DAC=∠DCA=∠ABD=∠ADB=x°，
则∠BDC=∠BCD=∠CAB=∠CBA=2x°，
∴∠DAB=∠ADC=3x°，
而四边形的内角和为360°，
∴∠DAB=∠ADC=108°，∠BCD=∠CBA=72°，
答：四边形ABCD各个内角的度数分别为108°，72°，108°，72°．
（2）由题意作图为：
（3）∵AB=BC，∠BAC=30°，
∴∠BCA=∠BAC=30°，∠ABC=120°，
ⅰ）当AC为黄金线时，
∴△ACD是等腰三角形，
∵AB=BC=CD，AC＞BC，
∴AD=CD或AD=AC，
当AD=CD时，则AB=BC=CD=AD，
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，如图3，此种情况不符合黄金四边形定义，
∴AD≠CD，
当AD=AC时，由黄金四边形定义知，∠ACD=∠D=15°或60°，
此时∠BAD=180°（不合题意，舍去）或90°（不合题意，舍去）；
ⅱ）当BD为黄金线时，
∴△ABD是等腰三角形，
∵AB=BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
①当AB=AD时，△BCD≌△BAD，
此种情况不符合黄金四边形定义；
②当AB=BD时，AB=BD=BC=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°，
∴∠A=30°或120°（不合题意，舍去），
∴∠ABC=180°（不合题意，舍去），
此种情况也不符合黄金四边形定义；
③当AD=BD时，设∠CBD=∠CDB=y°，则∠ABD=∠BAD=（2y）°或
，
∵∠ABC=∠CBD+∠ABD=120°，
当∠ABD=2y°时，y=40，
∴∠BAD=2y=80°；
当
时，y=80，
∴
；
综上所述：∠BAD的度数为40°，80°．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
