问题详情:
如图,△ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH.当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=_____.
【回答】
【解析】
如图,作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,利用等边三角形的*质得AB=AC,∠BAC=60°,再*∠ABH=∠CAH,则可根据“AAS”*△ABE≌△CAH,所以BE=AH,AE=CH,在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH,AE=AH,则CH=AH,于是在Rt△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2,从而得到BE=2,HE=1,AE=CH=,BH=1,接下来在Rt△BFH中计算出HF=,BF=,然后*△CHD∽△BFD,利用相似比得到=2,从而利用比例*质可得到DH的长.
【详解】
作AE⊥BH于E,BF⊥AH于F,如图,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°,∠BAH+∠CAH=60°,
∴∠ABH=∠CAH,
在△ABE和△CAH中,
∴△ABE≌△CAH,
∴BE=AH,AE=CH,
在Rt△AHE中,∠AHE=∠BHD=60°,
∴sin∠AHE=,HE=AH,
∴AE=AH•sin60°=AH,
∴CH=AH,
在Rt△AHC中,AH2+(AH)2=AC2=()2,解得AH=2,
∴BE=2,HE=1,AE=CH=,
∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1,
在Rt△BFH中,HF=BH=,BF=,
∵BF∥CH,
∴△CHD∽△BFD,
∴=2,
∴DH=HF=×=,
故*为:.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质、相似三角形的判定与*质、解直角三角形等,解题的关键是明确在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形.
知识点:相似三角形
题型:填空题