问题详情：
新晨投资公司拟投资开发某项新产品,市场评估能获得10～1000万元的投资收益.现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不低于1万元,同时不超过投资收益的20%.
(1)设奖励方案的函数模型为f(x),试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求.
(2)下面是公司预设的两个奖励方案的函数模型:
①f(x)=
+2;②f(x)=4lgx-2.
试分别分析这两个函数模型是否符合公司要求.
【回答】
【解析】(1)由题意知,公司对奖励方案的函数模型f(x)的基本要求是:
当x∈[10,1000]时,
①f(x)是增函数;②f(x)≥1恒成立;③f(x)≤
恒成立,
(2)①对于函数模型f(x)=
+2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)≥1显然恒成立,
而若使函数f(x)=
+2≤
在[10,1000]上恒成立,整理即29x≥300恒成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤
不恒成立.
故该函数模型不符合公司要求.
②对于函数模型f(x)=4lgx-2:
当x∈[10,1000]时,f(x)是增函数,
则f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.
所以f(x)≥1恒成立.
设g(x)=4lgx-2-
,则g′(x)=
-
.
当x≥10时,g′(x)=
-
≤
=
<0,
所以g(x)在[10,1000]上是减函数,
从而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.
所以4lgx-2-
≤0,即4lgx-2≤
,所以f(x)≤
恒成立.
故该函数模型符合公司要求.
知识点：统计案例
题型：解答题
