问题详情:
点A,B,C,D在同一个球的球面上,,,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )
A. B. C. D.
【回答】
D
【解析】
根据题意,画出示意图,结合三角形面积及四面积体积的最值,判断顶点D的位置;然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径,进而求得球的面积。
【详解】
根据题意,画出示意图如下图所示
因为 ,所以三角形ABC为直角三角形,面积为 ,其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处,设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值,所以当四面体ABCD体积取得最大值时,高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O,球的半径为R,则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】
本题考查了空间几何体的外接球面积的求法,主要根据题意,正确画出图形并判断点的位置,属于难题。
知识点:空间几何体
题型:选择题