问题详情:
点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )
A. B.8π C. D.
【回答】
C【考点】球的体积和表面积.
【专题】综合题;空间位置关系与距离.
【分析】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.
【解答】解:根据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1.
小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积的最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,
所以,DQ与面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ=,
∴DQ=4,
设球心为O,半径为R,
则在直角△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4﹣R)2,∴R=
则这个球的表面积为:S=4π()2=
故选C.
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体,球的表面积,其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值,是解答的关键.
知识点:球面上的几何
题型:选择题