问题详情:
已知三棱锥的所有棱长都是,四个顶点、、、都在球的球面上,记球的表面积是,过棱的平面被球截得的截面面积的最小值为,则的值为__________.
【回答】
【分析】
求出三棱锥的外接球的半径,可求出的值,结合球的几何*质可知,当为截面圆的直径时,过棱的平面被球截得的截面面积最小,可求得的值,由此可求得的值.
【详解】
由题意知,三棱锥是正三棱锥,取的中点,连接,如图所示:
设点在底面内的投影是,球的半径为,
由于是边长为的等边三角形,则,
,,
所以,解得,
所以球的表面积是.
易知当棱是截面圆的直径时,过棱的平面被球截得的截面面积取最小值,所以.
故*为:.
【点睛】
本题考查正三棱锥的外接球表面积的计算,同时也考查了球的截面圆面积的计算,考查计算能力,属于中等题.
知识点:空间几何体
题型:填空题