问题详情：
如图①,在平面直角坐标系中,有一张矩形纸片OABC,已知O(0,0),A(8,0),C(0,4),点P是OA边上的动点(与点O、A不重合),将△PAB沿PB翻折,得到△PDB, (Ⅰ)如图①,当∠BPA=30°时,求点D的坐标; (Ⅱ)现在OC边上选取适当的点E,再将△POE沿PE翻折,得到△PEF.并使直线PD、PF重合.如图②,设P(x,0),E(0,y),求y关于x的函数关系式,并求y的最大值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点F恰好落在边CB上时,求点P的坐标.(直接写出结果即可).
第7题图
【回答】
解:(Ⅰ)如解图①,过点D作x轴的垂线,垂足为点Q, 根据题意,在Rt△PAB中,∠PAB=90°,∠BPA=30°,
AB=4,PB=8,AP=4
, 在Rt△PBD中,由题意得∠PDB=90°,∠DPA=2∠BPA
=60°,∠PDQ=30°, 所以PQ=
PA=2
=AQ, DQ=PQ×
=2
×
=6, OQ=8－AQ=8－2
, 所以D点的坐标为(8－2
,6) (Ⅱ)如解图②,由已知得PB平分∠APD,PE平分∠OPF,且BP,PE垂直,则∠BPE=90°, ∴∠OPE＋∠APB═90°, 又∵∠APB＋∠ABP=90°, ∴∠OPE=∠PBA, ∴Rt△POE∽Rt△BAP, ∴
,即
, ∴y=
x(8－x)=－
x2＋2x=－
(x－4)2＋4,(0＜x＜8) 且当x=4时,y有最大值为4; (Ⅲ)P点的坐标为(4,0),(
,0), 过点P作PN⊥CB于点N,如解图②, ∴∠ECF=∠FNP=90°, ∴∠CEF＋∠EFC=90°, ∵∠EFC＋∠PFN=90° ∴∠CEF=∠PFN, ∴△CEF∽△NFP, ∴
,CF=
=
=2
, ∴
,
即2y－4=
, 将y=－
x2＋2x代入得:8(－
x2＋2x)－16=x2－16x＋64, 整理得3x2－32x＋80=0, 解得x1=4,x2=
, ∴P点的坐标为(4,0),(
,0).
图① 图②
第7题解图
知识点：相似三角形
题型：解答题
