问题详情:
记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知椭圆,以椭圆的焦点为顶点作相似椭圆.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆交于两点,且与椭圆仅有一个公共点,试判断的面积是否为定值(为坐标原点)?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【回答】
【解析】
分析:(Ⅰ)由相似椭圆的定义可得,椭圆的离心率,由长轴的顶点为(-2,0),(2,0),于是可得,从而可得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线.
由得,,利用判别式为零可得,联立与,利用韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式以及三角形面积公式可得.
详解:(Ⅰ)由条件知,椭圆的离心率,且长轴的顶点为(-2,0),(2,0),
∴椭圆的方程为.
(Ⅱ)当直线的斜率存在时,设直线.
由得,.
令得,.
联立与,化简得.
设A(),B(),则
∴,而原点O到直线的距离
∴.
当直线的斜率不存在时,或,则,原点O到直线的距离,
∴.
综上所述,的面积为定值6.
点睛:本题主要考查椭圆标准方程、圆锥曲线的定值问题以及椭圆的切线,属于难题. 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再*这个值与变量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题