问题详情:
已知椭圆的左、右焦点分别为,且椭圆离心率为,过作轴的垂线与椭圆交于两点,且,动点在椭圆上.
(I)求椭圆的标准方程;
(II)记椭圆的左、右顶点分别为,且直线的斜率分别与直线(为坐标原点)的斜率相同,动点不与重合,试判断的面积是否为定值,并说明理由.
【回答】
(I)联立方程得解得,
故,即,又,,所以,
故椭圆C的标准方程为.
(II)由(I)知,,设,
则,
又,即,
所以,所以.
当直线的斜率不存在时,直线的斜率分别为或,
不妨设直线的方程是,由得或.
取,则,所以的面积为.
当直线的斜率存在时,设方程为.
由得.
因为在椭圆上,所以,解得.
设,,则,.
所以
.
设点到直线的距离为,则.
所以的面积为,①.
因为,
所以
由,得,②.
由①②,得.
综上所述,的面积为定值,该定值为.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题