问题详情:
已知函数f(x)=x-a(ln x)2,a∈R.
(1)当a=1,x>1时,试比较f(x)与1的大小,并说明理由;
(2)若f(x)有极大值,求实数a的取值范围;
(3)若f(x)在x=x0处有极大值,*1<f(x0)<.
【回答】
.(1)解当a=1,x>1时,f(x)=x-(lnx)2,x>1.
f'(x)=1-2(lnx)
令g(x)=x-2lnx,x>1,
则g'(x)=1-
当x∈(1,2)时,g'(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈(2,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)≥g(2)=2-2ln2>0,即f'(x)>0.
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴f(x)>f(1)=1.
故当a=1,x>1时f(x)>1.
(2)解∵f'(x)=1-(x>0),
令h(x)=x-2alnx(x>0),则h'(x)=1-
①当a=0时,f(x)=x无极大值.
②当a<0时,h'(x)>0,
h(x)在(0,+∞)上单调递增,
h(1)=1>0,h()=-1<0,
∃x1∈(,1),使得h(x1)=0.
∴当x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(x1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
∴f(x)在x=x1处有极小值,f(x)无极大值.
③当a>0时,h(x)在(0,2a)上单调递减,h(x)在(2a,+∞)上单调递增,
∵f(x)有极大值,
∴h(2a)=2a-2aln(2a)=2a(1-ln2a)<0,
即a>
又h(1)=1>0,h(e)=e-2a<0,
∴∃x0∈(1,e),使得h(x0)=x0-2alnx0=0,即alnx0=;
∴当x∈(0,x0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x∈(x0,e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
∴f(x)有极大值,综上所述,a>
(3)*由(2)可知,alnx0=,
∴f(x0)=x0-a(lnx0)2=x0-(1<x0<e).
设p(x)=x-(1<x<e),
则p'(x)=1->0.
∴p(x)在(1,e)上单调递增,
∴p(1)<p(x)<p(e),
即1<p(x)<,
故1<f(x0)<
知识点:导数及其应用
题型:解答题