问题详情:
如图,在边长为2 (单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它的四个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为x m.
(1)求正四棱锥的体积V(x);
(2)当x为何值时,正四棱锥的体积V(x)取得最大值?
【回答】
解 (1)设正四棱锥的底面中心为O,一侧棱为AN.则
由于切去的是等腰三角形,所以AN=,NO=1-x,……………2分
在直角三角形AON中,AO===,
………………………………4分
所以V(x)=··2·=(1-x)2,(0<x<1). …………………7分
(不写0<x<1扣1分)
(2)V ′(x)==(x-1), ……………10分
令V ′(x)=0,得x=1(舍去),x=.
当x∈(0, )时,V ′(x)>0,所以V(x)为增函数;
当x∈(,1)时,V ′(x)<0,所以V(x)为减函数.
所以函数V(x)在x=时取得极大值,此时为V(x)最大值.……………14分
答:当x为m时,正四棱锥的体积V(x)取得最大值. ……………15分
知识点:空间几何体
题型:解答题