问题详情：
如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，
），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四
边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
解：（1）由抛物线过点A（﹣1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4），
将点C（0，2）代入，得：﹣4a=2，
解得：a=﹣
，
则抛物线解析式为y=
﹣
（x+1）（x﹣4）=﹣
x2+
x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，﹣2），
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：
，
解得：
，
∴直线BD解析式为y=
x﹣2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，﹣
m2+
m+2）、M（m，
m﹣2），
则QM=﹣
m2+
m+2﹣（
m﹣2）=﹣
m2+m+4，
∵F（0，
）、D（0，﹣2），
∴DF=
，
∵QM∥DF，
∴当﹣
m2+m+4=
时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=﹣1或m=3，
即m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则
=
=
=
，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴
=
，即
=
，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=﹣1，点Q的坐标为（﹣1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
