问题详情：
已知：A、B两点在直线l的同一侧，线段AO，BM均是直线l的垂线段，且BM在AO的右边，AO=2BM，将BM沿直线l向右平移，在平移过程中，始终保持∠ABP=90°不变，BP边与直线l相交于点P．
（1）当P与O重合时（如图2所示），设点C是AO的中点，连接BC．求*：四边形OCBM是正方形；
（2）请利用如图1所示的情形，求*：
=
；
（3）若AO=2
，且当MO=2PO时，请直接写出AB和PB的长．
【回答】
【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO
∴BM=CO，
∵AO∥BM，
∴四边形OCBM是平行四边形，
∵∠BMO=90°，
∴▱OCBM是矩形，
∵∠ABP=90°，C是AO的中点，
∴OC=BC，
∴矩形OCBM是正方形．
（2）连接AP、OB，
∵∠ABP=∠AOP=90°，
∴A、B、O、P四点共圆，
由圆周角定理可知：∠APB=∠AOB，
∵AO∥BM，
∴∠AOB=∠OBM，
∴∠APB=∠OBM，
∴△APB∽△OBM，
∴
（3）当点P在O的左侧时，如图所示，
过点B作BD⊥AO于点D，
易*△PEO∽△BED，
∴
易*：四边形DBMO是矩形，
∴BD=MO，OD=BM
∴MO=2PO=BD，
∴
，
∵AO=2BM=2
，
∴BM=
，
∴OE=
，DE=
，
易*△ADB∽△ABE，
∴AB2=AD•AE，
∵AD=DO=DM=
，
∴AE=AD+DE=
∴AB=
，
由勾股定理可知：BE=
，
易*：△PEO∽△PBM，
∴
=
，
∴PB=
当点P在O的右侧时，如图所示，
过点B作BD⊥OA于点D，
∵MO=2PO，
∴点P是OM的中点，
设PM=x，BD=2x，
∵∠AOM=∠ABP=90°，
∴A、O、P、B四点共圆，
∴四边形AOPB是圆内接四边形，
∴∠BPM=∠A，
∴△ABD∽△PBM，
∴
，
又易*四边形ODBM是矩形，AO=2BM，
∴AD=BM=
，
∴
=
，
解得：x=
，
∴BD=2x=2
由勾股定理可知：AB=3
，BM=3
知识点：各地中考
题型：解答题
