问题详情：
已知圆A：x2+y2+2x-15=0和定点B（1，0），M是圆A上任意一点，线段MB的垂直平分线交MA于点N，设点N的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-1）与曲线C相交于P，Q两点，试问：在x轴上是否存在定点R，使当k变化时，总有∠ORP=∠ORQ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（Ⅰ）
；（Ⅱ）存在定点R（4，0）满足题设.
【分析】
（Ⅰ）求出圆心A，通过|NM|＝|NB|，推出点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其标准方程，求出a，c，即可求解椭圆方程．（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y＝k（x﹣1）与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即可得到t的值．
【详解】
解：（Ⅰ）圆A：（x+1）2+y2=16，圆心A（-1，0），由已知得|NM|=|NB|，
又|NM|+|NB|=4，所以|NA|+|NB|=4＞|AB|=2，
所以由椭圆的定义知点N的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
设其标准方程C：
，则2a=4，2c=2，所以a2=4，b2=3，
所以曲线C：
；
（Ⅱ）设存在点R（t，0）满足题设，联立直线y=k（x-1）与椭圆方程
，
消去y，得（4k2+3）x2-8k2x+（4k2-12）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则由韦达定理得
①，
②，
由题设知OR平分∠PRQ⇔直线RP与直RQ的倾斜角互补，
即直线RP与直线RQ的斜率之和为零，即
，即
，即2kx1x2-（1+t）k（x1+x2）+2tk=0③，
把①、②代入③并化简得
，即（t-4）k=0④，
所以当k变化时④成立，只要t=4即可，所以存在定点R（4，0）满足题设.
【点睛】
本题考查利用椭圆定义求轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查存在*问题的处理方法，考查分析问题解决问题的能力．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
