问题详情:
已知点P(2,0)及圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0.
(1)设过P直线l1与圆C交于M、N两点,当|MN|=4时,求以MN为直径的圆Q的方程;
(2)设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A,B两点,是否存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)由于圆C:x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C(3,﹣2),半径为3,
|CP|=,而弦心距d=,
所以d=|CP|=,所以P为MN的中点,
所以所求圆的圆心坐标为(2,0),半径为|MN|=2,
故以MN为直径的圆Q的方程为(x﹣2)2+y2=4;
(2)把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1.代入圆C的方程,消去y,整理得(a2+1)x2+6(a﹣1)x+9=0.
由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A,B两点,
故△=36(a﹣1)2﹣36(a2+1)>0,即﹣2a>0,解得a<0.
则实数a的取值范围是(﹣∞,0).
设符合条件的实数a存在,
由于l2垂直平分弦AB,故圆心C(3,﹣2)必在l2上.
所以l2的斜率kPC=﹣2,
∴kAB=a=,
由于,
故不存在实数a,使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB.
知识点:圆与方程
题型:解答题