问题详情：
已知圆M：x2＋(y－4)2＝1，直线l：2x－y＝0，点P在直线l上，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.
(1)若∠APB＝60°，求P点的坐标；
(2)若点P的坐标为(1，2)，过点P作一条直线与圆M交于C，D两点，当|CD|＝
时，求直线CD的方程；
(3)求*：经过A，P，M三点的圆与圆M的公共弦必过定点，并求出此定点的坐标．
【回答】
解：(1)由条件可知|PM|＝2，设P点坐标为(a，2a)，则|PM|＝
＝2，解得a＝2或a＝
，所以P(2，4)或P（
，
）.
(2)由条件可知圆心到直线CD的距离d＝
＝
，设直线CD的方程为y－2＝k(x－1)，则由点到直线的距离公式得
＝
，解得k＝－7或k＝－1，
所以直线CD的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－9＝0.
(3)*：设P(a，2a)，过A，P，M三点的圆即以PM为直径的圆，其方程为x(x－a)＋(y－4)(y－2a)＝0，整理得x2＋y2－ax－4y－2ay＋8a＝0，与x2＋(y－4)2－1＝0相减得公共弦的方程为(4－2a)y－ax＋8a－15＝0，即(－x－2y＋8)a＋4y－15＝0，
令
解得
所以两圆的公共弦过定点
.
知识点：圆与方程
题型：解答题
