问题详情：
如图1，直线l：y=
x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线y=
x2+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A1的横坐标．
【回答】
（1）n=2；y=
x2﹣
x﹣1；（2）p=
；当t=2时，p有最大值
；（3）6个，
或
；
【分析】
（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答； （3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，根据图3、图4两种情形即可解决．
【详解】
解：
（1）∵直线l：y=
x+m经过点B（0，﹣1），
∴m=﹣1，
∴直线l的解析式为y=
x﹣1，
∵直线l：y=
x﹣1经过点C（4，n），
∴n=
×4﹣1=2，
∵抛物线y=
x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），
∴
，
解得
，
∴抛物线的解析式为y=
x2﹣
x﹣1；
（2）令y=0，则
x﹣1=0，
解得x=
，
∴点A的坐标为（
，0），
∴OA=
，
在Rt△OAB中，OB=1，
∴AB=
=
=
，
∵DE∥y轴，
∴∠ABO=∠DEF，
在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•
=
DE，
DF=DE•sin∠DEF=DE•
=
DE，
∴p=2（DF+EF）=2（
+
）DE=
DE，
∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
∴D（t，
t2﹣
t﹣1），E（t，
t﹣1），
∴DE=（
t﹣1）﹣（
t2﹣
t﹣1）=﹣
t2+2t，
∴p=
×（﹣
t2+2t）=﹣
t2+
t，
∵p=﹣
（t﹣2）2+
，且﹣
＜0，
∴当t=2时，p有最大值
．
（3）“落点”的个数有6个，如图1，图2中各有2个，图3，图4各有一个所示．
如图3中，设
A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+
，
∴
m2﹣
m﹣1=
（m+
）2﹣
（m+
）﹣1，
解得m=
，
如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+
，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，
∴
m2﹣
m﹣1+1=
（m+
）2﹣
（m+
）﹣1，
解得m=
，
∴旋转180°时点A1的横坐标为
或
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，旋转角是180°判断出A1O1∥x轴时，B1A1∥AB，解题时注意要分情况讨论．
知识点：二次函数单元测试
题型：解答题
