问题详情:
如图,直线y=﹣x+4与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A,B两点,点A在y轴上,点B在x轴上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线上存在一点P,使得∠ABP=90°,求出点P坐标;
(3)点E是抛物线对称轴上一点,点F是抛物线上一点,是否存在点E和点F使得以点E,F,B,O为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)y=﹣x+4,令x=0,则y=4,令y=0,则x=4,
故:点A、B的坐标分别为(0,4)、(4,0),
把A、B点坐标代入二次函数表达式得:,
解得:,
则:求抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4…①;
(2)∵OA=OB=4,∴∠ABO=45°,
∠ABP=90°,则OB为线段AC的垂直平分线,则点C坐标为(0,﹣4),
则:直线BC的表达式为:y=kx﹣4,
把点B点坐标代入上式,解得:k=1,
故:直线BC的表达式为:y=x﹣4…②,
将①②联立解得:x=±4(舍去正值),
故点P的坐标为(﹣4,﹣8);
(3)存在;①当OB是平行四边形的一条边时,
以E,F,B,O为顶点的四边形是平行四边形时,有如下图所示的两种情况:
先求解左侧图中F点的坐标,
此时EF=OB=4,
则:点F的横坐标为5,把点F(或F″)的横坐标代入二次函数表达式,
解得:y=﹣,即点F坐标为(5,﹣),
同理:点F的坐标为(﹣3,﹣);
②当OB是平行四边形的对角线时,
以E,F,B,O为顶点的四边形是平行四边形时,有如下图所示的一种情况:
∵OE′BF′为平行四边形,∴OE′=BF′,∠BOE′=∠F′BO,
过点E′、F′分别作x轴的平行线,分别交y轴和y轴的平行线与点M、N,
∠MOE′=90°﹣∠BOE′,∠NBF′=90°﹣∠F′BO,
∴∠MOE′=∠NBF′,又OE′=BF′,∠OME′=∠BNF′=90°,
∴△OME′≌△BNF′(AAS),
∴OM=BN=1,ME′=F′N,
设:BN=m,则:点F′坐标为:(3,m),
把点F′坐标代入二次函数表达式,解得:m=,
故:点F′坐标为(3,),
综上所述:点F的坐标为(5,﹣)或(﹣3,﹣)或(3,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题