问题详情:
如图,抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 的图象与 x 轴交于 A、B 两点(点 A 在点 B 的左边),与 y
轴交于点 C,点 D 为抛物线的顶点.
(1) 求点 A、B、C 的坐标;
(2) 点 M(m,0)为线段 AB 上一点(点 M 不与点 A、B 重合),过点 M 作 x 轴的垂线,与直线 AC 交于点 E,与抛物线交于点 P,过点 P 作 PQ∥AB 交抛物线于点 Q,过点 Q 作 QN⊥x 轴于点 N,可得矩形 PQNM.如图,点 P 在点 Q 左边,试用含 m 的式子表示矩形 PQNM 的周长;
(3) 当矩形 PQNM 的周长最大时,m 的值是多少?并求出此时的△AEM 的面积;
(4) 在(3)的条件下,当矩形 PMNQ 的周长最大时,连接 DQ,过抛物线上一点 F 作 y 轴的平行线,与直线 AC 交于点 G(点 G 在点 F 的上方).若 FG=2DQ,求点 F 的坐标.
【回答】
解:
(1)由抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 可知,C(0,3).令 y=0,则 0=﹣x2﹣2x+3,
解得,x=﹣3 或 x=l,
∴A(﹣3,0),B(1,0).
(2)由抛物线 y=﹣x2﹣2x+3 可知,对称轴为 x=﹣1.
∵M(m,0),
∴PM=﹣m2﹣2m+3,MN=(﹣m﹣1)×2=﹣2m﹣2,
∴矩形 PMNQ 的周长=2(PM+MN)=(﹣m2﹣2m+3﹣2m﹣2)×2=﹣2m2﹣8m+2.
(3)∵﹣2m2﹣8m+2=﹣2(m+2)2+10,
∴矩形的周长最大时,m=﹣2.
∵A(﹣3,0),C(0,3), 设直线 AC 的解析式 y=kx+b,
∴
解得 k=l,b=3,
∴解析式 y=x+3, 令 x=﹣2,则 y=1,
∴E(﹣2,1),
∴EM=1,AM=1,
∴S= AM×EM= .
(4)∵M(﹣2,0),抛物线的对称轴为 x=﹣l,
∴N 应与原点重合,Q 点与 C 点重合,
∴DQ=DC,
把 x=﹣1 代入 y=﹣x2﹣2x+3,解得 y=4,
∴D(﹣1,4),
∴DQ=DC= .
∵FG=2 DQ,
∴FG=4.
设 F(n,﹣n2﹣2n+3),则 G(n,n+3),
∵点 G 在点 F 的上方且 FG=4,
∴(n+3)﹣(﹣n2﹣2n+3)=4. 解得 n=﹣4 或 n=1,
∴F(﹣4,﹣5)或(1,0).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题