问题详情:
如图,抛物线y=x2﹣bx﹣5与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点C与点F关于抛物线的对称轴对称,直线AF交y轴于点E,|OC|:|OA|=5:1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线AF的解析式;
(3)在直线AF上是否存在点P,使△CFP是直角三角形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)根据抛物线解析式求出OC的长度,再根据比例求出OA的长度,从而得到点A的坐标,然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b,即可得到抛物线解析式;
(2)根据点C、F关于对称轴对称可得点F的纵坐标与点C的纵坐标相等,设出点F的坐标为(x0,﹣5),代入抛物线求出点F的横坐标,然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可;
(3)分①点P与点E重合时,△CFP是直角三角形,②CF是斜边时,过C作CP⊥AF于点P,然后根据点C、E、F的坐标求出PC=PF,从而求出点P在抛物线对称轴上,再根据抛物线的对称轴求解即可.
【解答】解:(1)∵y=x2﹣bx﹣5,
∴|OC|=5,
∵|OC|:|OA|=5:1,
∴|OA|=1,
即A(﹣1,0),
把A(﹣1,0)代入y=x2﹣bx﹣5得:
(﹣1)2+b﹣5=0,
解得b=4,
抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5;
(2)∵点C与点F关于对称轴对称,C(0,﹣5),设F(x0,﹣5),
∴x02﹣4x0﹣5=﹣5,
解得x0=0(舍去),或x0=4,
∴F(4,﹣5),
∴对称轴为直线x=2,
设直线AF的解析式为y=kx+b,
把F(4,﹣5),A(﹣1,0),代入y=kx+b,
得,
解得,
所以,直线FA的解析式为y=﹣x﹣1;
(3)存在.
理由如下:①当∠FCP=90°时,点P与点E重合,
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点,
∴E(0,﹣1),
∴P(0,﹣1),
②当CF是斜边时,过点C作CP⊥AF于点P(x1,﹣x1﹣1),
∵∠ECF=90°,E(0,﹣1),C(0,﹣5),F(4,﹣5),
∴CE=CF,
∴EP=PF,
∴CP=PF,
∴点P在抛物线的对称轴上,
∴x1=2,
把x1=2代入y=﹣x﹣1,得
y=﹣3,
∴P(2,﹣3),
综上所述,直线AF上存在点P(0,﹣1)或(2,﹣3)使△CFP是直角三角形.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题