问题详情:
如图,已知抛物线y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴相交于点A、B,与y轴相交于点C,且点A在点B的左侧.
(1)若抛物线过点G(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,解答下列问题:
①求出△ABC的面积;
②在抛物线的对称轴上找一点H,使AH+CH最小,并求出点H的坐标;
(3)在第四象限内,抛物线上是否存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
【考点】二次函数综合题.
【分析】(1)把点G的坐标代入抛物线的解析式中可求得m的值;
(2)①根据(1)中的m值写出抛物线的解析式,分别求抛物线与x轴和y轴的交点坐标,根据坐标特点写出AB和OC的长,利用三角形面积公式求△ABC的面积;
②由对称*可知:x=1,点A和B关于抛物线的对称轴对称,所以由轴对称的最短路径可知:连接BC与对称轴的交点即为点H,依据待定系数法可求得直线BC的解析式,将x=1代入得:y=,则点H的坐标为(1,);
(3)在第四象限内,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似,根据∠ACB与∠ABM为钝角,分两种情况考虑:①当△ACB∽△ABM时;②当△ACB∽△MBA时,利用相似三角形的判定与*质,确定出m的值即可.
【解答】解:(1)把点G(2,2)代入抛物线y=﹣(x+2)(x﹣m)中得:
2=﹣(2+2)(2﹣m),
m=4;
(2)①由(1)得抛物线的解析式为:y=﹣(x+2)(x﹣4),
当x=0时,y=﹣(0+2)(0﹣4)=2,
∴C(0,2),
∴OC=2,
当y=0时,﹣(x+2)(x﹣4)=0,
x=﹣2或4,
∴A(﹣2,0),B(4,0),
∴AB=2+4=6,
∴S△ABC=AB•OC=×6×2=6;
则△ABC的面积是6;
②∵A(﹣2,0),B(4,0),
由对称*得:抛物线的对称轴为:x=1,
∵点A和B关于抛物线的对称轴对称,
∴连接BC与对称轴的交点即为点H,
此时AH+CH为最小,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
把B(4,0),C(0,2)代入得:,
解得:,
∴直线BC的解析式为:y=﹣x+2,
当x=1时,y=,
∴H(1,);
(3)存在符合条件的点M,
由图形可知:∠ACB与∠ABM为钝角,
分两种情况考虑:
①当△ACB∽△ABM时,则有,即AB2=AC•AM,
∵A(﹣2,0),C(0,2),即OA=OC=2,
∴∠CAB=45°,∠BAM=45°,
如图2,过M作MN⊥x轴于N,则AN=MN,
∴OA+ON=2+ON=MN,
设M(x,﹣x﹣2)(x>0),
把M坐标代入抛物线解析式得:﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),
∵x>0,
∴x+2>0,
∵m>0,
∴x=2m,即M(2m,﹣2m﹣2),
∴AM==2(m+1),
∵AB2=AC•AM,AC=2,AB=m+2,
∴(m+2)2=2 •2(m+1),
解得:m=2±2,
∵m>0,
∴m=2+2;
②当△ACB∽△MBA时,则,即AB2=CB•MA,
∵∠CBA=∠BAM,∠ANM=∠BOC=90°,
∴△ANM∽△BOC,
∴,
∵OB=m,设ON=x,
∴=,即MN=(x+2),
令M[x,﹣(x+2)](x>0),
把M坐标代入抛物线解析式得:﹣(x+2)=﹣(x+2)(x﹣m),
同理解得:x=m+2,即M[m+2,﹣(m+4)],
∵AB2=CB•MA,CB=,AN=m+4,MN=(m+4),
∴(m+2)2=•,
整理得: =0,显然不成立,
综上,在第四象限内,当m=2 +2时,抛物线上存在点M,使得以点A、B、M为顶点的三角形与△ACB相似.
【点评】本题是二次函数综合题,主要考查的是轴对称路径最短问题、待定系数法确定函数解析式、坐标与图形*质、相似三角形的判定与*质、勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定与*质是解本题的关键.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题