问题详情:
如图,抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A,B两点(点B在点A的右侧),
与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴
上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A,B,C的坐标.
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD,BC于点M,N.试探究m为何值时,
四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由.
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形?若存在,请直
接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)当y=0时,,解得,,
∵点B在点A的右侧,∴点A,B的坐标分别为:(-2,0),(8,0).
当x=0时,,∴点C的坐标为(0,-4).
(2)由菱形的对称*可知,点D的坐标为(0,4).
设直线BD的解析式为,则,解得, .
∴直线BD的解析式为.
∵l⊥x轴,∴点M,Q的坐标分别是(m,),(m,)
如图,当MQ=DC时,四边形CQMD是平行四边形.
∴,化简得:.
解得,m1=0(舍去),m2=4.
当m=4时,四边形CQMD是平行四边形,此时,四边形CQBM也是平行四边形.
理由如下:∵m=4, ∴点P是OB中点.∵l⊥x轴, ∴l∥y轴.
∴△BPM∽△BOD. ∴. ∴BM=DM.
∴四边形CQBM为平行四边形.
(3)抛物线上存在两个这样的点Q,分别是Q1(-2,0),Q2(6,-4).可分DQ⊥BD,BQ⊥BD两种情况讨论可求点Q的坐标:由B(8,0),D(0,4),Q(m,)应用勾股定理求出三边长,再由勾股定理分DQ⊥BD,BQ⊥BD两种情况列式求出m即可.
知识点:相似三角形
题型:综合题