问题详情：
在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣
x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=
，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
【回答】
（1）5
；（2）y=﹣
x2+
x；（3）﹣
＜a＜0．
【分析】
（1）先求出A，B坐标，即可得出结论； （2）设点C（m，-
m+5），则BC=
|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论； （3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，-25a），即可得出结论．
【详解】
（1）针对于直线y=﹣
x+5，
令x=0，y=5，
∴B(0，5)，
令y=0，则﹣
x+5=0，
∴x=10，
∴A(10，0)，
∴AB=
=5
；
（2）设点C(m，﹣
m+5)．
∵B(0，5)，
∴BC=
=
|m|．
∵BC=
，
∴
|m|=
，
∴m=±2．
∵点C在线段AB上，
∴m=2，
∴C(2，4)，
将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax2+bx(a≠0)中，得
，
∴
，
∴抛物线y=﹣
x2+
x；
（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax2+bx中，得100a+10b=0，
∴b=﹣10a，
∴抛物线的解析式为y=ax2﹣10ax=a(x﹣5)2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为(5，﹣25a)，
将x=5代入y=﹣
x+5中，得y=﹣
×5+5=
，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜
，
∴﹣
＜a＜0．
【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键．
知识点：一次函数
题型：解答题
