问题详情：
如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB=4，交y轴于点C，对称轴是直线x=1． （1）求抛物线的解析式及点C的坐标； （2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x=1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标； （3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒． ①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值； ②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
【回答】
解：（1））∵点A、B关于直线x=1对称，AB=4， ∴A（-1，0），B（3，0）， 代入y=-x2+bx+c中，得：
，解得
， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， ∴C点坐标为（0，3）； （2）设直线BC的解析式为y=mx+n， 则有：
，解得
， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， ∵点E、F关于直线x=1对称， 又E到对称轴的距离为1， ∴EF=2， ∴F点的横坐标为2，将x=2代入y=-x+3中， 得：y=-2+3=1， ∴F（2，1）； （3）①如下图， MN=-4t2+4t+3，MB=3-2t， △AOC与△BMN相似，则
， 即：
， 解得：t=
或-
或3或1（舍去
、-
、3）， 故：t=1； 
②∵M（2t，0），MN⊥x轴，∴Q（2t，3-2t）， ∵△BOQ为等腰三角形，∴分三种情况讨论， 第一种，当OQ=BQ时， ∵QM⊥OB ∴OM=MB ∴2t=3-2t ∴t=
； 第二种，当BO=BQ时，在Rt△BMQ中 ∵∠OBQ=45°， ∴BQ=
， ∴BO=
， 即3=
， ∴t=
； 第三种，当OQ=OB时， 则点Q、C重合，此时t=0 而t＞0，故不符合题意 综上述，当t=
或
秒时，△BOQ为等腰三角形． 【解析】
（1）将A、B关坐标代入y=-x2+bx+c中，即可求解； （2）确定直线BC的解析式为y=-x+3，根据点E、F关于直线x=1对称，即可求解； （3）①△AOC与△BMN相似，则
，即可求解；②分OQ=BQ、BO=BQ、OQ=OB三种情况，分别求解即可． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
知识点：各地中考
题型：综合题
