问题详情:
求下列函数的极值:
(1)y=f(x)=3x3-x+1; (2)f(x)=x2ex.
思路分析:首先对函数求导,求得f′(x),然后求方程f′(x)=0的根,再检验方程根的左右两侧导数f′(x)的符号.如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值.
【回答】
解:(1)y′=9x2-1,令y′=0,解得x1=,x2=-.
当x变化时,y′和y的变化情况如下表:
x | - | ||||
y′ | + | 0 | - | 0 | + |
y | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
因此,当x=-时,y有极大值,并且y极大值=.
而当x=时,y有极小值,并且y极小值=.
(2)函数的定义域为R.
f′(x)=2xex+x2·ex=ex·x(2+x),
令f′(x)=0,得x=0或x=-2.
当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x | (-∞,-2) | -2 | (-2,0) | 0 | (0,+∞) |
f′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
f(x) | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值0 | 单调递增 |
由上表可以看出,当x=0时,函数有极小值,且f(0)=0.
当x=-2时,函数有极大值,且f(-2)=.
知识点:导数及其应用
题型:解答题