问题详情:
已知函数f(x)=x-lnx,g(x)=.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求*:对任意的m,n∈(0,e],都有f(m)-g(n)>.(注:e≈2.718 28…是自然对数的底数.)
【回答】
解析 (1)∵f(x)=x-lnx(x>0),∴f′.
由f(x)>0,得x>1,由f(x)<0,得0<x<1.
∴f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间是(0,1).
(2)由(1)知,当x∈(0,e]时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增.
∴当x=1时,[f(x)]min=f(1)=1.
∵g(x)=(x>0),∴g′(x)=(x>0).
当x∈(0,e]时,g(x)≥0,∴g(x)在(0,e]上单调递增.
∴当x∈(0,e]时,[g(x)]max=g(e)=.
对任意的m,n ∈(0,e],f(m)-g(n)≥[f(m)]min-[g(n)]max=1->.
即*得,对任意的m,n∈(0,e],都有f(m)-g(n)>.
知识点:函数的应用
题型:解答题