问题详情:
设函数f(x)=xex+a(1-ex)+1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)上存在零点,*:a>2.
(二)选考题:请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
【回答】
(1)解:函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),
因为f(x)=xex+a(1-ex)+1,所以f′(x)=(x+1-a)ex.
所以当x>a-1时,f′(x)>0,f(x)在(a-1,+∞)上是增函数;
当x<a-1时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,a-1)上是减函数.
所以f(x)在(a-1,+∞)上是增函数,在(-∞,a-1)上是减函数.
(2)*:由题意可得,当x>0时,f(x)=0有解,
即有解.
令,则.
设函数h(x)=ex-x-2,h′(x)=ex-1>0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增.
又h(1)=e-3<0,h(2)=e2-4>0,所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.
故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.设此零点为k,则k∈(1,2).
当x∈(0,k)时,g′(x)<0;当x∈(k,+∞)时,g′(x)>0.
所以g(x)在(0,+∞)的最小值为g(k).
又由g′(k)=0,可得ek=k+2,所以,
因为a=g(x)在(0,+∞)上有解,所以a≥g(k)>2,即a>2.
知识点:导数及其应用
题型:解答题