問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,二次函數y=x2-2x-3的圖象與x軸交於A,B兩點,與y軸交於點C,連接BC,點D爲拋物線的頂點,點P是第四象限的拋物線上的一個動點(不與點D重合).
(1)求∠OBC的度數;
(2)連接CD,BD,DP,延長DP交x軸正半軸於點E,且S△OCE=S四邊形OCDB,求此時P點的座標;
(3)過點P作PF⊥x軸交BC於點F,求線段PF長度的最大值.
【回答】
【解析】(1)A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),D(1,-4).∵OC=OB=3,∴△OBC爲等腰直角三角形,∴∠OBC=45°.
(2)過點D作DH⊥x軸於點H,此時S四邊形OCDB=S梯形OCDH+S△HBD,∵OH=1,OC=3,HD=4,HB=2,∴S梯形OCDH=·(OC+HD)·OH=,S△HBD=·HD·HB=4,∴S四邊形OCDB=.∴S△OCE=S四邊形OCDB==·OC·OE,∴OE=5,∴E(5,0).∴lDE:y=x-5.∵DE交拋物線於P,設P(x,y),∴x2-2x-3=x-5,解得 x=2 或x=1(D點,捨去),∴xP=2,代入lDE:y=x-5,∴P(2,-3).
(3)如答圖,lBC:y=x-3.∵F在BC上,∴yF=xF-3.∵P在拋物線上,∴yP=x-2xP-3,∴PF=yF-yP=xF-3-(x-2xP-3).∵xP=xF,∴PF=-x+3xP=-(xP-)2+(1<xP<3),∴當xP=時,線段PF長度最大,最大值爲.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:綜合題