問題詳情:
如圖,在斜三棱柱中,側面⊥底面,側棱與底面成60°的角,.底面是邊長爲2的正三角形,其重心爲點, 是線段上一點,且.
(1)求*://側面;
(2)求平面與底面所成銳二面角的餘弦值;
【回答】
解法1:(1)延長B1E交BC於點F,
∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,
從而點F爲BC的中點.
∵G爲△ABC的重心,∴A、G、F三點共線.且,
又GE側面AA1B1B,∴GE//側面AA1B1B. …………5分
(2)在側面AA1B1B內,過B1作B1H⊥AB,垂足爲H,∵側面AA1B1B⊥底面ABC,
∴B1H⊥底面ABC.又側棱AA1與底面ABC成60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H=
在底面ABC內,過H作HT⊥AF,垂足爲T,連B1T,由三垂線定理有B1T⊥AF,
又平面B1CE與底面ABC的交線爲AF,∴∠B1TH爲所求二面角的平面角. …………8分
∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH.在Rt△B1HT中,,
從而平面B1GE與底面ABC成銳二面角的餘弦值爲. …………12分
解法2:(1)∵側面AA1B1B⊥底面ABC,側棱AA1與底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,
又AA1=AB=2,取AB的中點O,則AO⊥底面ABC.
以O爲原點建立空間直角座標系O—如圖,
則,,,,,.
∵G爲△ABC的重心,∴.,∴,
∴. 又GE側面AA1B1B,∴GE//側面AA1B1B. …………6分
(2)設平面B1GE的法向量爲,則由得
可取 又底面ABC的一個法向量爲
設平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小爲,則.
故平面B1GE與底面ABC成銳二面角的餘弦值爲. …………12分
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題