問題詳情:
如圖1,點O爲直線AB上一點,過點O作*線OC,使∠AOC=60°.將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處,一邊OM在*線OB上,另一邊ON在直線AB的下方,其中∠OMN=30°.
(1)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2,使一邊OM在∠BOC的內部,且恰好平分∠BOC,求∠CON的度數;
(2)將圖1中的三角尺繞點O按每秒10°的速度沿順時針方向旋轉一週,在旋轉的過程中,在第______秒時,邊MN恰好與*線OC平行;在第______秒時,直線ON恰好平分銳角∠AOC.(直接寫出結果);
(3)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3,使ON在∠AOC的內部,請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關係,並說明理由.
【回答】
【考點】旋轉的*質.
【分析】(1)根據鄰補角的定義求出∠BOC=120°,再根據角平分線的定義求出∠COM,然後根據∠CON=∠COM+90°解答;
(2)分別分兩種情況根據平行線的*質和旋轉的*質求出旋轉角,然後除以旋轉速度即可得解;
(3)用∠AOM和∠CON表示出∠AON,然後列出方程整理即可得解.
【解答】解:(1)∵∠AOC=60°,
∴∠BOC=120°,
又∵OM平分∠BOC,
∴∠COM=∠BOC=60°,
∴∠CON=∠COM+90°=150°;
(2)∵∠OMN=30°,
∴∠N=90°﹣30°=60°,
∵∠AOC=60°,
∴當ON在直線AB上時,MN∥OC,
旋轉角爲90°或270°,
∵每秒順時針旋轉10°,
∴時間爲9或27,
直線ON恰好平分銳角∠AOC時,
旋轉角爲90°+30°=120°或270°+30°=300°,
∵每秒順時針旋轉10°,
∴時間爲12或30;
故*爲:9或27;12或30.
(3)∵∠MON=90°,∠AOC=60°,
∴∠AON=90°﹣∠AOM,
∠AON=60°﹣∠NOC,
∴90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC,
∴∠AOM﹣∠NOC=30°,
故∠AOM與∠NOC之間的數量關係爲:∠AOM﹣∠NOC=30°.
知識點:圖形的旋轉
題型:綜合題