問題詳情：
已知數列
的前n項和爲
，
.
（1）若
，求數列
的通項公式；
（2）若數列
是等差數列，
，數列
的前n項和爲
，是否存在
，使得
？若存在，求出所有滿足條件的n的值；若不存在，請說明理由.
【回答】
（1）
（2）存在；
【解析】
(1)利用數列的通項和前n項和之間的關係即可求出數列
的通項公式,要注意檢驗
時的情況；
(2)先根據數列
是等差數列求出a的值,再求出
,
,最後利用裂項相消法求數列
的前n項和
,進而判斷是否存在
滿足
,則問題獲解.
【詳解】
解：（1）當
時,
.
當
時,
；
當
時,
.
經檢驗,
不符合上式,
故數列
的通項公式
,
（2）當
時,
；
當
時,
.
因爲數列
是等差數列,所以
,解得
,
因爲
.
則
,
故
所以
.
令
,整理得
,所以
,
故存在
滿足題意.
【點睛】
本題主要考查數列的通項和前n項和之間的關係,等差數列的判定,裂項相消法求和,考查考生的運算求解能力、邏輯思維能力.
試題結合等差數列、裂項相消法求和考查數列的有關知識,也考查考生的觀察能力、恆等變形能力等,其中滲透了數學運算、邏輯推理等核心素養.
易錯*示：在利用數列的通項和前n項和之間的關係求數列的通項公式時,很多考生會根據
直接求得結果,而忽略了此等式成立的前提是
,遺漏了對
的檢驗而出錯,如本題第（1）問中
就不符合
的情況,因此需要將結果寫成分段的形式.
知識點：數列
題型：解答題
