問題詳情:
如圖,直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交於B、C兩點,點A在x軸上,∠ACB=90°,拋物線y=ax2+bx+經過A,B兩點.
(1)求A、B兩點的座標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M是直線BC上方拋物線上的一點,過點M作MH⊥BC於點H,作MD∥y軸交BC於點D,求△DMH周長的最大值.
【回答】
】解:
(1)∵直線y=﹣x+分別與x軸、y軸交於B、C兩點,
∴B(3,0),C(0,),
∴OB=3,OC=,
∴tan∠BCO==,
∴∠BCO=60°,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACO=30°,
∴=tan30°=,即=,解得AO=1,
∴A(﹣1,0);
(2)∵拋物線y=ax2+bx+經過A,B兩點,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+;
(3)∵MD∥y軸,MH⊥BC,
∴∠MDH=∠BCO=60°,則∠DMH=30°,
∴DH=DM,MH=DM,
∴△DMH的周長=DM+DH+MH=DM+DM+DM=DM,
∴當DM有最大值時,其周長有最大值,
∵點M是直線BC上方拋物線上的一點,
∴可設M(t,﹣t2+t+),則D(t,﹣t+),
∴DM=﹣t2+t+),則D(t,﹣t+),
∴DM=﹣t2+t+﹣(﹣t+)=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,
∴當t=時,DM有最大值,最大值為,
此時DM=×=,
即△DMH周長的最大值為.
知識點:二次函數與一元二次方程
題型:解答題