問題詳情：
已知數列
的前
項和
滿足
，數列
滿足
．
Ⅰ
求數列
和數列
的通項公式；
Ⅱ
令
，若
對於一切的正整數
恆成立，求實數
的取值範圍；
Ⅲ
數列
中是否存在
，且 
使
，
，
成等差數列？若存在，求出
的值；若不存在，請説明理由．
【回答】
Ⅰ
，
；
Ⅱ
或
；
Ⅲ
不存在，理由見解析．
【分析】
Ⅰ
利用已知條件通過
，説明數列
是首項為1，公比為2的等比數列，從而可求出
的通項公式，然後求解
的通項公式；
Ⅱ
求出
，判斷數列的單調*，結合
對於一切的正整數
恆成立，得到
求解即可；
Ⅲ
假設存在
，使
，
，
成等差數列，推出
説明是與條件矛盾，得到結論．
【詳解】
Ⅰ
根據題意，數列
滿足
，
當
時，
．當
時，
，
，
即
．
所以數列
是首項為1，公比為2的等比數列
所以
，
；
又由已知
，得
Ⅱ
依題意得
，
．
因為
，
所以當
時，
取得最大值
因為
對於一切的正整數n恆成立，
所以
解得
或
，
所以實數x的取值範圍是
或
；
Ⅲ
假設存在
，使
，
，
成等差數列，
則
，即
兩邊同時除以
，得
因為
為偶數，
為奇數，這與
矛盾．
所以不存在
，使
，
，
成等差數列
【點睛】
本題主要考查數列的應用，通項公式以及數列的單調*，反*法的應用，屬於難題．反*法的適用範圍：（1）否定*命題與存在*命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接*所用的理論較少，且不容易*，而其逆否命題非常容易*；（4）要討論的情況很複雜，而反面情況較少．
知識點：數列
題型：解答題
