问题详情:
设函数f(x)=2x3-9x2+12x+8c,
(1)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
(2)若对任意的x∈(0,3),都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
【回答】
解 (1)∵f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2).
∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;
当x∈(2,3)时,f′(x)>0.
∴当x=1时,f(x)取极大值f(1)=5+8c.
又f(3)=9+8c>f(1),
∴x∈[0,3]时,f(x)的最大值为f(3)=9+8c.
∵对任意的x∈[0,3],有f(x)<c2恒成立,
∴9+8c<c2,即c<-1或c>9.
∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(9,+∞).
(2)由(1)知f(x)<f(3)=9+8c,
∴9+8c≤c2即c≤-1或c≥9,
∴c的取值范围为(-∞,-1]∪[9,+∞).
知识点:导数及其应用
题型:解答题