问题详情:
在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P作PF∥BC,交对角线BD于点F.
(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求*:△DEF是等腰三角形;
(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).
①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求*:△DP'C∽△DF'B.
②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.
【回答】
(1)*见解析;(2)①*见解析;②或 .
【解析】
(1)根据翻折的*质以及平行线的*质可知∠DFQ=∠ADF,所以△DEF是等腰三角形;
(2)①由于PF∥BC,所以△DPF∽△DCB,从而易*△DP′F′∽△DCB;
②由于△DF'B是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.
【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ,
∵PF∥BC,
∴∠DFP=∠ADF,
∴∠DFQ=∠ADF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,
∵∠P′DF′=∠PDF,
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC,
∴∠P′DC=∠F′DB,
由旋转的*质可知:△DP′F′≌△DPF,
∵PF∥BC,
∴△DPF∽△DCB,
∴△DP′F′∽△DCB
∴ ,
∴△DP'C∽△DF'B;
②当∠F′DB=90°时,如图所示,
∵DF′=DF=BD,
∴,
∴tan∠DBF′=;
当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB,不符合题意;
当∠DF′B=90°时,如图所示,
∵DF′=DF=BD,
∴∠DBF′=30°,
∴tan∠DBF′=.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的*质,锐角三角函数的定义,相似三角形的*质以及判定等知识,综合*较强,有一定的难度,熟练掌握相关的*质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
知识点:相似三角形
题型:解答题