问题详情:
已知椭圆C:的离心率为,椭圆C的长轴长为4.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知直线l:与椭圆C交于A,B两点,是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)设椭圆的焦半距为c,则由题设,得, 解得,所以b2=a2-c2=4-3=1, 故椭圆C的方程为. (2)存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O. 理由如下: 设点A(x1,y1),B(x2,y2), 将直线l的方程代入, 并整理,得.(*) 则,. 因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O, 所以,即x1x2+y1y2=0, 又, 于是,解得, 经检验知:此时(*)式的>0,符合题意. 所以当时,以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题