问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,矩形OADB的顶点A,B的坐标分别为A(﹣6,0),B(0,4).过点C(﹣6,1)的双曲线y=(k≠0)与矩形OADB的边BD交于点E.
(1)填空:OA= ,k= ,点E的坐标为
;
(2)当1≤t≤6时,经过点M(t﹣1,﹣t2+5t﹣)与点N(﹣t﹣3,﹣t2+3t﹣)的直线交y轴于点F,点P是过M,N两点的抛物线y=﹣x2+bx+c的顶点.
①当点P在双曲线y=上时,求*:直线MN与双曲线y=没有公共点;
②当抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点,求t的值;
③当点F和点P随着t的变化同时向上运动时,求t的取值范围,并求在运动过程中直线MN在四边形OAEB中扫过的面积.
【回答】
解:(1)∵A点坐标为(﹣6,0)
∴OA=6
∵过点C(﹣6,1)的双曲线y=
∴k=﹣6
y=4时,x=﹣
∴点E的坐标为(﹣,4)
故*为:6,﹣6,(﹣,4)
(2)①设直线MN解析式为:y1=k1x+b1
由题意得:
解得
∵抛物线y=﹣过点M、N
∴
解得
∴抛物线解析式为:y=﹣x2﹣x+5t﹣2
∴顶点P坐标为(﹣1,5t﹣)
∵P在双曲线y=﹣上
∴(5t﹣)×(﹣1)=﹣6
∴t=
此时直线MN解析式为:
联立
∴8x2+35x+49=0
∵△=352﹣4×8×48=1225﹣1536<0
∴直线MN与双曲线y=﹣没有公共点.
②当抛物线过点B,此时抛物线y=﹣x2+bx+c与矩形OADB有且只有三个公共点
∴4=5t﹣2,得t=
当抛物线在线段DB上,此时抛物线与矩形OADB有且只有三个公共点
∴,得t=
∴t=或t=
③∵点P的坐标为(﹣1,5t﹣)
∴yP=5t﹣
当1≤t≤6时,yP随t的增大而增大
此时,点P在直线x=﹣1上向上运动
∵点F的坐标为(0,﹣)
∴yF=﹣
∴当1≤t≤4时,随者yF随t的增大而增大
此时,随着t的增大,点F在y轴上向上运动
∴1≤t≤4
当t=1时,直线MN:y=x+3与x轴交于点G(﹣3,0),与y轴交于点H(0,3)
当t=4﹣时,直线MN过点A.
当1≤t≤4时,直线MN在四边形AEBO中扫过的面积为
S=
知识点:反比例函数
题型:解答题